5. Král sa nudí

Táto úloha je teoretická. Ako svoje riešenie odovzdaj pdf súbor, v ktorom bude tvoje riešenie aj so zdôvodnením, prečo je správne. Po konci kola ti riešenie opraví vedúci, a napíše ti komentár - povie ti kde si spravil chyby, prípadne ti poradí ako vieš svoje riešenia zlepšiť.

Ak máte akékoľvek otázky ohľadom tejto úlohy, napíšte Marianke na [email protected]

Adam¹ sa pri učení na analýzu neskutočne nudil, a tak sa rozhodol, že si namiesto počítania príkladov vymyslí inú zábavu. Na svoj poznámkový papier napísal čísla od \(1\) do \(50\), každé práve raz. Potom škrtol niektoré dve čísla a na papier napísal absolútnu hodnotu rozdielu týchto dvoch čísiel. To znamená, že ak škrtol napríklad čísla \(12\) a \(39\), tak na papier napísal číslo \(27\), pretože \(|12 - 39| = 27\). Keď Adam zopakuje takéto škrtanie 49krát, tak mu na papieri ostane už iba jedno nepreškrtnuté číslo a s ním už ďalej nevie nič robiť.

Na začiatku má Adam na papieri napísané každé z čísiel od \(1\) do \(50\) práve raz. Avšak po škrtaní a zapisovaní nových čísiel môže nastať situácia, kedy bude mať to isté číslo napísané viackrát. Keby Adam škrtol čísla \(12\) a \(39\) a namiesto nich napísal číslo \(27\), v tom momente má na papieri dvakrát napísané \(27\). Ak by potom škrtol obidve \(27\), ktoré má aktuálne na papieri, tak by na papier napísal číslo \(0\).

Úloha

1. (15 bodov) Ako má Adam škrtať čísla na papieri, aby mu po \(49\) škrtnutiach ostalo na papieri číslo \(1\)? Nájdite aspoň \(3\) valídne riešenia.

2. (25 bodov) Aké najväčšie číslo dokáže Adam po ktoromkoľvek škrtaní napísať na papier? Prečo Adam nedokáže napísať väčšie číslo?

3. (30 bodov) Vie Adam škrtať čísla tak, aby mu ako posledné zostalo iba číslo \(14\)? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

4. (30 bodov) Vypíšte všetky možné čísla, ktoré vie Adam napísať na papier ako posledné a svoje tvrdenie zdôvodnite.