5. Král sa zase nudí

Táto úloha je teoretická. Ako svoje riešenie odovzdaj pdf súbor, v ktorom bude tvoje riešenie aj so zdôvodnením, prečo je správne. Po konci kola ti riešenie opraví vedúci, a napíše ti komentár – povie ti kde si spravil chyby, prípadne ti poradí ako vieš svoje riešenia zlepšiť.

Toto je pokračovanie úlohy z minulého kola. Pri riešenení tejto úlohy môžete využívať napr. vzorové riešenie tejto úlohy.

Ak máte akékoľvek otázky ohľadom tejto úlohy, napíšte Štepimu na [email protected]

Adama¹ už prestalo baviť to škrtanie čísel, čo si vymyslel namiesto učenia sa na analýzu. Čo bude robiť namiesto toho, učiť sa? No to určite…

Ako sa tak pozeral na papier, na ktorom mal zhodou okolností napísaných do radu \(20\) prirodzených čísel, napadlo mu, že by mohol pred každé z nich dopísať \(+\) alebo \(-\) a potom vypočítať hodnotu výrazu, ktorý mu takto vznikne.

Napríklad, ak mal Adam napísané čísla \(1, 2, 3, \dots, 20\), mohol medzi ne napísať napríklad všade plusy a dostal by \(1 + 2 + \dots + 20 = 210\), ale keby dal napríklad pred \(1\) a \(3\) mínus, dostal by \(-1 + 2 - 3 + 4 + \dots + 20 = 202\).

Úloha

1. (10 bodov) Koľko má Adam možností, ako napísať plusy a mínusy?

2. (20 bodov) Adam teda skúsil napísať rôzne kombinácie plusov a mínusov, ale niekedy sa mu stalo, že mu vyšiel rovnaký výsledok. To sa mu nepáčilo. Vedel by vybrať takých \(20\) čísel, že mu pre každú kombináciu znamienok vyjde iný výsledok?

3. (30 bodov) Adam má napísaných nejakých \(20\) čísel. Všimol si, že keď doplní znamienka nejakým spôsobom, dostane výsledok \(42\). Môže ich doplniť iným spôsobom, aby mu vyšlo \(47\)?

4. (40 bodov) Po chvíli bol Adam už unavený z počítania s veľkými číslami. Povedal si teda, že napíše na papier len čísla od \(1\) do \(100\). Pritom si všimol, že teraz vie niektoré výsledky vyrobiť veľa rôznymi kombináciami znamienok.

   Napríklad ak si Adam napíše čísla \(1, 2, 3, \dots, 20\), potom vie dostať výsledok \(204\):

   • tak, že pred čísla 1 a 2 dá mínus a všade inde plus (\(-1 - 2 + 3 + 4 + \dots + 20 = 204\))
   • aj tak, že dá mínus pred číslo 3 a všade inde plus (\(1 + 2 - 3 + 4 + 5 + \dots + 20 = 204\)).

   Tento výsledok sa teda dá vyrobiť aspoň týmito dvomi (možno však aj viacerými) rôznymi spôsobmi.

   Je pravda, že musí vždy (bez ohľadu na to, aké čísla si Adam zvolí) existovať výsledok, ktorý vie Adam takto vyrobiť až \(147\) rôznymi spôsobmi? Ak áno, tak čo \(247\) alebo \(447\) spôsobmi? A ak nie, tak aspoň \(2\) spôsobmi?